Работы обучающихся
Исследовательская работа
Принцип замены линейных комбинаций и признаки делимости
на простые числа
(Секция «Математика»)
Выполнила: Ходор Мария Андреевна,
ученица 6 класса
Руководители: Окулик Галина Ивановна,
учитель математики и
информатики,
Тихонко Елена Иосифовна,
учитель математики
Несвиж 2015
Содержание
Введение……………………………………………………………..3
Основное содержание………………………………………………4-12
Немного из истории………………………………………….4
Признаки делимости на простые двухзначные числа …….4-12
Заключение………………………………………………………….13
Использованные ресурсы…………………………………………..14
Приложение
Введение
Такие вопросы математики, как делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Казалось, все давно известно и понятно. Но, когда на уроках математики мы начали изучать эти темы, то мой интерес оказался велик, и мне захотелось узнать:
— Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?
При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» меня заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деления, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Я решила написать исследовательскую работу по данной теме. На факультативных занятиях мы рассматривали признаки делимости на 4; 7; 8; 11; 13. Некоторые из этих признаков имеют очень громоздкие и плохо запоминающиеся формулировки. В своей работе на основании доказанной теоремы и следствия из неё я дала более простые признаки делимости на простые двухзначные числа и установила закономерность формул. Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое.
Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.
Цель исследования: дать более простые формулировки признаков делимости на простые числа используя принцип замены линейных комбинаций
Для достижения цели были поставлены задачи:
Изучить теоретический материал по данной проблеме; отработать при выведении формулировок признаков делимости на простые числа полученные теоретические знания; составить таблицу признаков делимости на простые двухзначные числа, используя принцип замены линейных комбинаций; ознакомить одноклассников и своих младших братиков и сестричек с универсальным методом делимости на простые двухзначные числа; составить упражнения-тренажёры по данной теме.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: нахождение более «выгодной» линейной комбинации чисел a и b для формулировки признаков делимости.
Основное содержание
Немного из истории
Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
При изучении темы: «Простые и составные числа» меня заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении математики. Мне захотелось узнать:
Что собой представляет таблица простых чисел?
Есть ли последнее простое число?
При изучении литературы и Интернет-ресурсов по данной теме я нашла, что над этим же вопросом в свое время задумался живший в ІІІ веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,
55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71,
72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88,
89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Оставив число 2, зачеркнем все остальные чётные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Признаки делимости на простые двухзначные числа
При решении некоторых задач иногда приходится использовать признаки делимости на простые числа. Причём некоторые из этих признаков имеют очень громоздкие и плохо запоминающиеся формулировки.
Я попыталась дать более простые формулировки признаков делимости на простые числа.
Определение. Целое число a делится на целое число b ≠ 0, если найдётся такое целое число k, что a = kb.
Будем считать, что символы 
и 
обозначают числа, у которых соответственно буквами a и m обозначено число десятков, а буквами b и n соответственно обозначены цифры единиц. Это означает, что b может принимать значения 0; 1; 2; …; 9; где a — любое натуральное значение и m — значения : 1; 2; …; 9. Число n не может быть чётным, так как в дальнейшем мы будем рассматривать простые числа вида .
Для вывода признаков делимости на простые числа вида докажем следующую теорему.
Теорема: Число 
делится на простое число 
тогда и только тогда, когда an – bm делится на .
Доказательство. Необходимость. Пусть делится на . Докажем, что число (na – mb) делится на .
Действительно, так как 10a + b делится на 10m + n, то по определению найдётся целое число k, что 10a + b=(10m + n)· k;
тогда b=(10m + n)· k - 10a; и (na – mb)= na – m((10m + n) · k - 10a) = =na – mk(10m + n) + 10ma = a (10m + n) – mk(10m + n) = (10m +n)(a – mk), где a – mk, очевидно, целое число.
Достаточность. Пусть na – mb делится на . Докажем, что делится на .
Действительно, так как na – mb=(10m + n)q (по определению), где q
Z, то na=(10m + n)q + mb; или иначе, na=10mq+ nq+ mb= (10q+b)m+nq; na=(10q+b)m+ nq. Отсюда следует, что целое число (10q+b)m+ nq= na делится на n. А так как nq делится на n, то и целое число (10q+b)m делится на n. Так как число простое, то возможны два случая: 1) число m не кратно n и 2) число m кратно n.
В случае 1) целое число 10q+b делится на n, т.е. 
Z.
Далее из равенства na=(10m +n)q+ mb следует, что
a =
.
Тогда 10a + b= 10 ·+ b=
= 
=
= (10m +n) ·;
Окончательно имеем: 10a + b=(10m +n) ·. (*)
Случай 2): число m кратно n. Это возможно тогда, когда простое число
имеет вид 
, т.е. в том случае, если n=1. Тогда равенство (*) принимает вид: 10a + b=(10m +1) ·(10q+b).
n не равно 2; 4; 6; 8; 0, так как число будет чётным и не является простым. Пусть n=3. m — кратное трём, значит m= 3; 6 или9, но тогда 33, 63 и 93 не будут простыми числами. Если n=5, то m=5; 10; 15;…Но 55 не будет простым числом, а 105 и 155 не будут двухзначными числами.
Теорема доказана.
Следствие (Принцип замены линейных комбинаций): Если число делится на простое число , то и числа (10 – n)a + (m +1)b и (10 + n)a+ (1 - m)b также делятся на .
Действительно. Так как 10a + b делится на 10m +n, то и na – mb делится на 10m +n. Но тогда и разность (10a + b) - ( na – mb)= (10a - na)+ (b + mb)= =(10 – n)a + (m + 1)b делится на . Аналогично, сумма (10a + b) + ( na – -mb)= 10a + b + na – mb= (10 + n)a+ (1 - m)bделится на .
С помощью принципа замены линейных комбинаций можно находить более «выгодную» линейную комбинацию чисел a и b для формулировки признаков делимости. Используя доказанную теорему и принцип замены линейных комбинаций, я сформулировала признаки делимости на простые двухзначные числа.
Пример: На 47 делятся те и только те числа, для которых 7a - b делится на 47. Но так как a – любое натуральное число, оно может быть большим и умножить устно на 7 сложно. Поэтому я вывела формулы делимости, где коэффициент при a равен 1
Выведем признак делимости на 7. Здесь имеем особый случай, так как 7 — однозначное число, а теорема выполняется лишь для случая многозначных простых чисел .
Пусть 10a + b делится на 7, но тогда и разность 10a + b - 7a = 3a + b делится на 7. Обратно, пусть 3a + b делится на 7. Докажем, что и 10a + b делится на 7. Действительно, так как 7a делится на 7 при любом целом a, то и 3a + b + 7a = 10a + b делится на 7. Значит, на 7 делятся те и только те числа , для которых число 3a + b делится на 7.
Так как 3a + b делится на 7, то и число 3·(3a + b)= 9a + 3b делится на 7 и делится на 7 разность 10a + b - 9a - 3b = a - 2b. Обратно, пусть a - 2b делится на 7. Так как 49a + 7b делится на 7 при любых целых a и b, то и сумма (49a + 7b) + (a - 2b )= 5(10a + b) делится на 7. Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то и число 10a + b делится на 7.
Значит, признак делимости на 7 можно сформулировать так: число делится на 7 тогда и только тогда, когда число a - 2b делится на 7.
Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда число 3a+ b или число a - 2b делится на 7.
Пример 1. Делится ли на 7 число: а) 203; б) 236?
Решение. а) 203 = 20·10 + 3; a=20, b=3.
a - 2b = 20-2·3 = 14 делится на 7, то и число 203 делится на 7.
б) 236 = 23·10 + 6; a=23, b=6. Так как a - 2b = 23 - 2·6 = 11 не делится на 7, то и число 236 не делится на 7.
Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда число a - b делится на 11.
Доказательство. Действительно, из доказанной ранее теоремы следует, что при m = n =1 число делится на 11 тогда и только тогда, когда 1· a - 1·b = a - b делится на 11.
Пример 2. Делится ли на 11 число 1485?
Решение. а) 1485 = 148·10 + 5; a=148, b=5.
a - b = 148-5 = 143 делится на 11, то и число 1485 делится на 11.
Пример 3. Делится ли на 11 число 13 673?
Решение. 13 673 = 13 67·10 + 3; a=1367, b=3;
a - b = 1367 - 3 = 1364. Применим к числу 1364 ещё раз признак делимости на 11: 1364=136·10 + 4; a=136, b=4; a - b = 136 - 4 = 132.
Уже непосредственно видно, что число 132 делится на 11, поэтому и 1364 делится на 11, и 13 673 делится на 11.
Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число a+4 b делится на 13.
Доказательство. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число 3a - b делится на 13 (по теореме). Значит 10a+ b-3(3a – b)=a+4 b делится на 13. Докажем обратное. Пусть a+4 b делится на 13, то и 10a+ b делится на 13.
Так как 13a+ 13b делится на 13 и 3(a+4 b) делится на 13, тогда (13a+ 13b) - -3(a+4 b) = 10a+ b делится на 13.
Пример 4. Делится ли на 13 число 975?
Решение. а) 975 = 97·10 + 5; a=97, b=5.
a+4b = 97+4·5 = 117; Применим к числу 117 ещё раз признак делимости на 13: 117 =11+4·7=39
Так как 39 делится на 13, то и 975 делится на 13.
Признак делимости на 17. Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число a-5 b делится на 17.
Доказательство. Пусть 10a + b делится на 17, то и 3a +2b делится на 17 (следствие). Значит (10a + b)-3(3a +2b)= a-5 b
Обратно, пусть a - 5b делится на 17. Так как 31·17a +17b = 527a+17b делится на 17 при любых целых a и b, то и разность (527a+17b) –7 (a - 5b)= 520a + 52b=52(10a + b) делится на 17. Поскольку числа 52 и 17 взаимно простые, то и число 10a + b делится на 17.
Пример 5. Делится ли на 17 число 210 086?
a=21008, b=6; a - 5 b = 21008-5·6= 20978
2097 - 5·8 = 2057; 205-5·7 =170;
а 170 делится на 17, значит число 210 086 делится на 17.
Признак делимости на 19. Число делится на 19 в том и только в том случае, когда число a +2b делится на 19.
Доказательство. Из теоремы следует, что число делится на 19 тогда и только тогда, когда число 9a - b делится на 19. Но тогда и число (10a + b)- (9a – b)= 10a + b - 9a + b= a +2b делится на 19. Обратно, пусть a +2b делится на 19. Так как 9·19a +19b = 171a+19bделится на 19 при любых целых a и b, то и разность (171a + 19b) – (a +2b)= 17(10a + b) делится на 19. Поскольку числа 17 и 19 взаимно простые, то и число 10a + b делится на 19.
Пример 6. Делится ли на 19 число 2 337?
a=233, b=7. a +2b = 233+2·7= 247 24+ 2·7 = 38;
а 38 делится на 19, значит число 2 337 делится на 19.
Признак делимости на 23. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число a +7b делится на 23.
Доказательство. Действительно, на 23 делятся те и только те числа , для которых число 3a - 2b делится на 23 ( по теореме). Но тогда и
(10a + b)- 3(3a – 2b)= 10a + b - 9a + 6b= a +7b делится на 23.
Обратно, пусть a +7b делится на 23. Так как 7·23a +23b = 161a+23b делится на 23 при любых целых a и b, то и разность (161a + 23b) – (a +7b)= 16(10a + b) делится на 23. Поскольку числа 16 и 23 взаимно простые, то и число 10a + b делится на 23.
Представляю доказательство следующих признаков делимости:
Признак делимости на 29. Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число a +3b делится на 29.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 29, но тогда по теореме 9a - 2b делится на 29. И разность 10a +b - (9a - 2b) = a +3b делится на 29. Обратно, пусть a +3b делится на 29. Тогда 29a + 29b- 9(a +3b)= 2(10a +b) делится на 29. Значит 10a +b делится на 29.
Признак делимости на 31. Число делится на 31 тогда и только тогда, когда число a - 3b делится на 31.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 31 тогда и только тогда, когда a - 3b делится на 31.
Признак делимости на 37. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда число a - 11b делится на 37.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 37, но тогда по теореме 7a - 3b делится на 37. И разность 3( 7a - 3b) - 2( 10a +b)= a -11 b делится на 37.
Наоборот, пусть a -11b делится на 37. Тогда 37a + 37b+3(a -11b)= 4(10a +b) делится на 37. Значит 10a +b делится на 37.
Пример 7. Делится ли на 37 число: а) 5883; б) 18 426?
Решение.
а) 5883= 588·10 + 3; a=588, b=3; a - 11b =588 - 11·3 = 588 – 33 = 555. Применим к числу 555 ещё раз признак делимости на 37: a = 55, b = 5.
a - 11b = 55 - 11·5 = 0. Так как 0 делится на 37, то и 555 делится на 37, а тогда и число 5883 делится на 37.
б) 18 426= 1 842·10 + 6; a=1 842, b=6.
a - 11b =1 842 - 11·6 = 1776.
1776 = 177·10 + 6; a = 177, b = 6.
a - 11b = 177 - 11·6 = 177 – 66 =111.
111 делится на 37, значит число 18 426 делится на 37.
Признак делимости на 41. На 41 делятся те и только те числа , для которых число a - 4b делится на 41.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 41 тогда и только тогда, когда a -4b делится на 41.
Признак делимости на 43. На 43 делятся те и только те числа , для которых число a +13b делится на 43.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 43, но тогда по теореме 3a - 4b делится на 43 (по теореме). И разность 10a +b - 3( 3a -4b)= a +13b делится на 43. Наоборот, пусть a +13b делится на 43. Тогда 43a + 43b-3(a +13b)= 4(10a +b) делится на 43. Значит 10a +b делится на 43.
Признак делимости на 47. На 47 делятся те и только те числа , для которых число a -14b делится на 47.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 47, тогда по следствию 3a+5b делится на 47. И разность 10a +b - 3(3a+5b)= a -14b делится на 47.
Признак делимости на 53. На 53 делятся те и только те числа , для которых число a+16b делится на 53.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 53 тогда и только тогда, когда 3a -5b делится на 53. И разность 10a +b - 3(3a - 5b)= a +16b делится на 53.
Наоборот, пусть a +16b делится на 53. Тогда 53a + 53b-3(a +16b)= 5(10a +b) делится на 53. Значит 10a +b делится на 53.
Признак делимости на 59. На 59 делятся те и только те числа , для которых число a+6b делится на 59.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 59 тогда и только тогда, когда 9a -5b делится на 59. И разность 10a +b – (9a - 5b)= a +6b делится на 59. Наоборот, пусть a +6b делится на 59. Тогда 59a + 59b-9(a +6b)= 5(10a +b) делится на 59. Значит 10a +b делится на 59.
Признак делимости на 61. На 61 делятся те и только те числа , для которых число a - 6b делится на 61.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 61, тогда по следствию 9a+7b делится на 61. И разность 10a +b - (9a+7b)= a -6b делится на 61.
Обратно, пусть a -6b делится на 61. Тогда 61a -61b – 11(a - 6b)= 50(10 a +b) делится на 61. Значит 10a +b делится на 61.
Признак делимости на 67. На 67 делятся те и только те числа , для которых число a - 20b делится на 67.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 67 тогда и только тогда, когда 7a -6b делится на 67. И разность 3(7a -6b)-2(10a+b)= a - 20b делится на 67. Наоборот, пусть a - 20b делится на 67. Тогда 2·67a - 67b-4(a - 20b)= 13(10a +b) делится на 67. Значит 10a +b делится на 67.
Признак делимости на 71. На 71 делятся те и только те числа , для которых число a - 7b делится на 71.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 71, тогда по следствию 9a+8b делится на 71.
И разность 10a + b - (9a+8b)= a - 7b делится на 71.
Обратно, пусть a -7b делится на 71. Тогда 2·71a+71b +7(a - 7b)= 22(10 a +b) делится на 71. Значит 10a +b делится на 71.
Признак делимости на 73. На 73 делятся те и только те числа , для которых число a +22b делится на 73.
Доказательство. Пусть 10a +b делится на 71, тогда по следствию 13a - 6b делится на 73. И разность 4(10a + b) - 3(13a - 6b)= a+22 b делится на 73.
Обратно, пусть a +22b делится на 73. Тогда 4·73a+73b -2(a+22b)= 29(10 a +b) делится на 73. Значит 10a +b делится на 73.
Признак делимости на 79. На 79 делятся те и только те числа , для которых число a+8b делится на 79.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 79 тогда и только тогда, когда 9a -7b делится на 79. И разность 10a+b - (9a -7b)= a+8b делится на 79. Наоборот, пусть a + 8b делится на 79. Тогда 4·79a + 79b-6(a+ 8b)= 31(10a +b) делится на 79. Значит 10a +b делится на 79.
Признак делимости на 83. На 83 делятся те и только те числа , для которых число a+25b делится на 83.
Доказательство. По теореме 10a +b делится на 83 тогда и только тогда, когда 3a -8b делится на 83. И разность 10a+b - 3(3a -8b)= a +25b делится на 83. Наоборот, пусть a + 25b делится на 83. Тогда 83a + 83b-3(a+ 25b)= 8(10a +b) делится на 83. Значит 10a +b делится на 83.
Признак делимости на 89. На 89 делятся те и только те числа , для которых число a+9b делится на 89.
Доказательство. По теореме, 10a +b делится на 89 тогда и только тогда, когда 9a -8b делится на 89. И разность 10a+b - (9a -8b)= a+9b делится на 89. Наоборот, пусть a + 9b делится на 89. Тогда 89a + 89b-9(a+ 9b)= 8(10a +b) делится на 89. Значит 10a +b делится на 89.
Признак делимости на 97. На 97 делятся те и только те числа , для которых число a- 29b делится на 97.
Доказательство. По теореме, 10a +b делится на 97 тогда и только тогда, когда 7a -9b делится на 97. Значит 3(7a-9b) -2 (10a+b)= a-29b делится на 97. Наоборот, пусть a -29b делится на 97. Тогда 97a + 97b+3(a-29b)= 10(10a +b) делится на 97. Значит 10a +b делится на 97.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Пользуясь приведённой теоремой и следствием из неё я сформулировала признаки делимости на все простые двухзначные числа и установила следующую закономерность зависимости коэффициента при b от разности десятков предыдущего и последующего простого числа, заканчивающихся определённой цифрой:
- Если простое число заканчивается на 1, то при переходе от одного простого числа к другому коэффициент при b уменьшается на столько единиц, на сколько десятков увеличивается число.
- Если простое число заканчивается на 7, то коэффициент при b уменьшается на три единицы за каждый десяток простого числа.
- Если же числа заканчиваются на 3, то коэффициент при b увеличивается на три единицы за каждый десяток простого числа.
- Если число заканчиваются на 9, то коэффициент при b увеличивается на единицу за каждый десяток простого числа.
Знание и использование выше перечисленных признаков делимости на все простые двухзначные числа значительно упрощает многие вычисления, экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления.
Собранный мной материал я оформила в виде таблицы, которую можно использовать на занятиях математики, на занятиях математического кружка. Моей работой заинтересовались мои братики и сестрички, одноклассники. А ещё я создала упражнения на отработку навыков использования выведенных формул в приложении Web 2.0 learningapps.org. Эти упражнения имеют особую ценность, а именно интерактивность. Теперь с ними могут ознакомиться все пользователи Интернета.
Использованные ресурсы
- Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
- Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
- Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
- Матэматыка: Праблемы выкладання – № 2, 2010.../ /С.В. Шабунио. “О признаках делимости на простые числа”
- Пельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
- Решето Эратосфена — Википедия
- Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
- https://sites.google.com/site/viktortsekunov/popularly/delimost
- http://estoyanov.net/files/MATAMATIKA/number_theory/delimost_Bardu6kin.pdf
- 10. http://learningapps.org
Приложение 1
Решето Эратосфена
Приложение 2
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
на простые двухзначные числа
|
Число |
Формула |
Число |
Формула |
Число |
Формула |
Число |
Формула |
|
7 |
a - 2b |
31 |
a - 3b |
61 |
a - 6b |
97 |
a - 29b |
|
11 |
a - b |
37 |
a - 11b |
67 |
a - 20b |
|
|
|
13 |
a + 4b |
41 |
a - 4b |
71 |
a - 7b |
|
|
|
17 |
a - 5b |
43 |
a +13b |
73 |
a +22b |
|
|
|
19 |
a + 2b |
47 |
a -14b |
79 |
a+8b |
|
|
|
23 |
a +7b |
53 |
a+16b |
83 |
a+25b |
|
|
|
29 |
a +3b |
59 |
a+6b |
89 |
a+9b |
|
|
Приложение 3
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ
|
Число |
Формула |
Число |
Формула |
Число |
Формула |
Число |
Формула |
|
11 |
a - b |
7 |
a - 2b |
13 |
a + 4b |
19 |
a +2b |
|
31 |
a - 3b |
17 |
a - 5b |
23 |
a + 7b |
29 |
a +3b |
|
41 |
a - 4b |
37 |
a - 11b |
43 |
a + 13b |
59 |
a +6b |
|
61 |
a - 6b |
47 |
a -14b |
53 |
a + 16b |
79 |
a+8b |
|
71 |
a -7b |
67 |
a -20b |
73 |
a+ 22b |
89 |
a+9b |
|
|
|
97 |
a - 29b |
83 |
a+ 25b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 4
Упражнение 1. Делимость на простые двухзначные числа
http://LearningApps.org/watch?v=pomosemga01
Упражнение 2. Кратно 7 или 11?
http://LearningApps.org/watch?v=pdkmj6zun01
Упражнение 3. 31 или 29?
http://LearningApps.org/watch?v=pz4cdenpn01
ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ
НЕСВИЖСКОГО РАЙИСПОЛКОМА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ОНОШКОВСКИЙ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДЕТСКИЙ САД-СРЕДНЯЯ ШКОЛА»
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
МУЗЫКА ДЕРЕВА
Выполнил:
Антонович Олег 10 класс,
Деревяго Артем 8 класс
Руководитель:
Ялкович Павел Викторович,
учитель физики и трудового обучения
Адрес учреждения образования:
222602, Минская обл.
Несвижский район аг. Оношки
ул. Центральная 20
т. (8-01770) 3-63-29
е-mail: Onoshkov@nesvizh.edu.by
ОГЛАВЛЕНИЕ
- Введение …………………………….…………….…………...………… 3
- Основная часть ………………….………………..…………..…………. 5
- Зависимость качества звучания деревянных музыкальных инструментов от свойств и пород древесины …………………….. 4
- Жалейка ……………………………………………………. 4
- Дудочка ………………………………………………….…. 5
- Ударные деревянные инструменты …………………….... 6
- Знакомство с творчеством известных народных мастеров, изготавливающих деревянные музыкальные инструменты……… 8
- Заключение …...……………………………………………………..…. 11
- Список использованных источников ………………....……………… 12
- Приложение ………………………………………………..…………... 13
- ВВЕДЕНИЕ
Человек использовал древесину на протяжении тысячелетий для многих целей, в первую очередь в качестве топлива, а также в качестве строительного материала, для изготовления оружия, мебели, тары, произведений искусства и бумаги, музыкальных инструментов.
Являясь участниками образцового ансамбля гармонистов «Аношкаўскія музыкі» нас заинтересовали деревянные народные инструменты.
· Каким образом внутри каждого деревянного инструмента скрыта уникальная мелодия?
· Какие свойства древесины помогают сделать доступными божественные звуки для человеческого слуха?
· Почему каждое дерево по звучанию совершенно не похоже друг на друга?
Несколько столетий назад музыкальные инструменты изготавливались исключительно из разных пород дерева, включая и ценные редкие породы, откуда исторически и получили своё название - деревянные музыкальные инструменты. Многие из них сделаны из ценного материала — наряду с вишней, дубом, орехом, кленом, березой использовались экзотические породы древесины: красное и розовое дерево, палисандр, самшит, гигантский орех. Обольстительная лексика названий чудесно действует на слух. Становишься немножко поэтом, читая о том, что пламенное красное дерево сочетается с глубокими черными тонами, что инкрустации выполнены из капового ореха, что инструмент из вишни и тиса обладает теплым звучанием. [3]
Никакие искусственные материалы не заменят красоту и теплоту натурального дерева.
Цель: исследовать возможности древесины для изготовления народных музыкальных инструментов, а также влияния пород и свойств древесины на качество их музыкального звучания
Задачи:
· исследовать влияние породы древесины на выбор деревянного музыкального инструмента;
· исследовать влияние механических свойств древесины на выбор деревянного музыкального инструмента;
· познакомиться с творчеством известных народных мастеров Республики Беларусь, изготавливающих деревянные музыкальные инструменты.
2.1. ЗАВИСИМОСТЬ КАЧЕСТВА ЗВУЧАНИЯ ДЕРЕВЯННЫХ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ОТ СВОЙСТВ И ПОРОД ДРЕВЕСИНЫ
Звучание инструмента определяется прежде всего тем, из какого дерева она сделана. Древесина играет решающую роль: насколько стабильными окажутся характеристики инструмента, будет ли достойно звучать будущий инструмент. Тщательный выбор материалов — первая и одна из важнейших задач, которую приходится решать мастерам.
Среди огромного количества дерева, которое заготавливают для деревообработки, далеко не каждая доска подходит для изготовления музыкального инструмента. Лучшим вариантом для выбора дерева являются заготовки естественной сушки. Несмотря на то, что естественная сушка дерева требует на порядок больше времени, чем искусственная, только она позволяет сохранить структуру пор и волокон древесины, от которых зависят резонансные характеристики материала. Также необходимо учитывать профиль распила, направление волокон и их кривизну, наличие (или, в нашем случае отсутствие) сучков, свилеватость и другие нюансы. Именно поэтому производится тщательный отбор. Каждую заготовку и даже высушенное дерево выдерживается не меньше года, в некоторых случаях до десятков лет, перед изготовлением из него музыкального инструмента. [1]
Древесина для изготовления музыкальных инструментов используется разная: клен, груша, черешня, бамбук, дуб, бук, ясень, красное дерево, черное дерево и другие породы.
ЖАЛЕЙКА
Жалейка – народный духовой инструмент. Относится к группе язычковых. Можно предположить, что жалейка - это игровая трубка волынки, которую отделили от резервуара. Инструмент состоит из трубки (ствола) с игровыми отверстиями, мундштука с пищиком, мундштучного защитного колпачка (народные музыканты играли без него) и резонатора (коровий рог, берестяной или деревянный раструб). На этом инструменте пастухи играли, когда пасли стадо и во время деревенских праздников. У жалейки яркий, сильный звук. Она может играть то жалобно и печально, то весело и задорно. [2]
Клен традиционно используется для производства жалеек т.к. при хороших акустических характеристиках, клен обладает сравнительно небольшим весом.
Древесина клена – твердая, плотная и блестящая, хорошо полируется. Плотность около 650 кг/м3. [6]
2.1.2. 
ДУДОЧКА
Дудочка — народный музыкальный духовой инструмент,. Она имеет несколько боковых отверстий, а для вдувания — мундштучок. Делают дудочку как правило из камыша, тростника или другого пустотелого материала. Одними из лучших считаются дудочки, изготовленные вручную из груши или других фруктовых деревьев. [2]
Груша, плотность: 700 – 750 кг/м3. Древесина плотная, твердая, хорошо обрабатывается. При правильной сушке груша почти не коробится и не растрескивается, но подвержена червоточине. Цвет древесины розовато-желтовато-белый или буровато-красный. Область применения груши аналогична клену, только в отличие от клена груша обладает более насыщенным цветом, в связи с чем отпадает необходимость тонировать древесину. Так же груша менее подвержена растрескиванию, особенно при обжиге деталей.
Черешня. Древесина черешни более твердая и плотная, чем вишневая. Древесина по цвету различна и бывает от красного до красно-коричневого цвета. Древесина черешни обладает очень богатым и ярким звуком, особенно древесина корневой части. Однако в силу большой свилеватости черешня достаточно тяжело сверлится и подвержена деформации. В связи с этим черешня идет на производство только небольших по размеру дудочек. [4]
Дудочка на фото – из бамбука. Изготовить её проще, чем из дерева так как он по природе полый внутри и его не надо высверливать по всей длине. Остается сделать отверстия для пальцев по длине стебля. Кроме того, бамбук имеет хорошую резонансность. Каждый отрезок ствола бамбука, даже, одного и того же растения уникален, поэтому каждая дудочка имеет свое звучание. [6]
- УДАРНЫЕ ДЕРЕВЯННЫЕ
МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
Пластинчатая трещотка – ударный инструмент, обладающий характерным трескучим звуком. Наилучшим материалом для изготовления пластинчатой трещотки является хорошо высушенная древесина твердых пород: дуба, бука или граба. Представленная на фото пластинчатая трещотка изготовлена из древесины бука, что предает ей наиболее звонкий звук.
Круговая трещотка – разновидность трещотки, состоящая из деревянной прямоугольной рамки, посаженной на ось, на которой закреплен зубчатый вал.
Корпус круговой трещотки изготовлен из древесины дуба, а ударная пластинка, для усиления звонких щелчков – из бука.
Рубе́ль — предмет домашнего быта, который в старину использовали для глажения белья после стирки. Рубель использовали также в качестве музыкального инструмента. В отличие от бытовых рубелей, музыкальные в одной из боковых торцевых сторон имели высверленную резонаторную полость (не сквозную). Кроме того, музыкальный рубель менее длинный, а рубцы его имеют более острые грани.
Бич (хлопушка) - ударный инструмент, отличающийся характерным резким звуком - «хлопком». Если пластины совмещать без точного наложения, а немного внахлест, то звук инструмента потеряет силу, насыщенность и будет напоминать сухой щелчок.
Погремушка - это небольшой, продолговатый точеный, деревянный, как правило, кленовый или березовый с небольшими полостями в виде стаканчиков, которые служат резонаторами. Звук извлекают барабанными или ксилофонными палочками поочередно ударяя по стаканчикам
Деревянная коробочка - очень скромный, но важный инструмент народного оркестра. Это небольшой, продолговатый, тщательно обструганный и даже отшлифованный со всех сторон деревянный, как правило, кленовый брусок с небольшой полостью под верхней частью корпуса, которая служит резонатором. Звук извлекают барабанными или ксилофонными палочками
Ложки - самый простой, самый колоритный и распространенный народный инструмент.
|
Внешне мало отличаются от обычных столовых деревянных ложек, но изготавливаются они из твёрдых пород дерева.
Рубель, погремушка, бич, деревянная коробочка ложки изготавливают из твердых лиственных пород древесины – дуба, рябины, бука, клёна, берёзы. Все перечисленные инструменты, используемые в ансамбле “Аношкаўскія музыкі” изготовлены из березы авторами.
Береза. Древесина березы прочная, отличается хорошей прочностью, износостойкостью особенно при ударных нагрузках
Бук. Древесина бука твердая, прочная, тяжелая и гибкая, легко колется
Дуб. Древесина дуба прочная, тяжелая, хорошо выдерживает износ, долговечная и устойчива к внешним воздействиям. Со временем дуб немного темнеет.
2.2. ЗНАКОМСТВО С ТВОРЧЕСТВОМ ИЗВЕСТНЫХ НАРОДНЫХ МАСТЕРОВ, ИЗГОТАВЛИВАЮЩИХ ДЕРЕВЯННЫЕ МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
Изучая свойства, строение и играя на различных деревянных музыкальных инструментах нам хотелось познакомиться с теми людьми, которые создают из обычного куска древесины инструмент, способный издавать прекрасные мелодии. Мастер должен обладать не только навыками столяра, резчика по дереву, но и иметь музыкальные способности, для того, чтобы в процессе изготовления инструмента получать звучание соответствующее всем требованиям музыкальной гармонии.
Вначале мы обратились к известным в нашем районе мастерам резьбы по дереву. Один из них Прокорина Олег Викентьевич, член Союза мастеров народного творчества Республики Беларусь. Олег Викентьевич занимается резьбой по дереву более пятнадцати лет. Его работы можно встретить не только в нашем районе но и далеко за его пределами.
Например в рамках празднования 120-летия Я. Купалы и Я. Коласа в г. Юрмале состоялось торжественное открытие скульптурной композиции. Белорусские мастера деревянной скульптуры Николай Скляр, Олег Прокорина, Анатолий Пушкарёв и Вячеслав Петрович работали над своими произведениями в течение двух недель. Ими создано четыре больших деревянных скульптуры, которые олицетворяют персонажи из произведений Я. Купалы и Я. Коласа. Пятая скульптура посвящена дружбе белорусского и латвийского народов.
Олег Прокорина, мастер резьбы по дереву народного клуба «Диаменты Несвижского края» получил в 2008 году специальную премию министерства культуры Республики Беларусь за высокие достижения в в номинации «Народные промыслы и ремёсла».
Во время встречи с мастером мы познакомились с его оригинальным домом в аг. Снов Несвижского района, который совершенно не похож на другие дома и мимо которого невозможно пройти не уделив ему отдельного внимания. Каждая, казалось бы ненужная вещь превращается в интересное решение в руках мастера и начинает нести определенный смысл.
Олег Викентьевич рассказал о своих увлечениях,
которые стали образом его жизни.
 |
«Музыка дерева» – с таким вопросом мы обратились к народному умельцу. Олег Викентьевич показал нам скрипку, которую он изготовил совместно с известным мастером по изготовлению скрипок из города Барановичи Дударевичем Владимиром Иосифовичем.
 |
Кроме этого мы узнали о других известных в Республике Беларусь мастерах по изготовлению народных музыкальных инструментов, таких как Шеремет Андрей.
Он занимается резьбой по дереву, изготовлением деревянных духовых музыкальных инструментов (охотничьих рогов, сурьм и т.д.). Член союза музыкальных деятелей Республики Беларусь. На протяжение нескольких лет исследовал свойства различных пород деревьев, самостоятельно реконструировал технологию изготовления белорусских народных деревянных труб – сурьм. Музыкант заслуженного народного коллектива Республики Беларусь «Крупіцкія музыкі». С 2009 г. мастер музея «Дудутки».
Мастер по изготовлению народных инструментов Владимир Козак, участник народного фольклорного ансамбля «Жалейка», что на Витебщине.
Александр Сурба, мастер по ремонту и изготовлению музыкальных инструментов г Минск.
Реконструированные Александром волынки можно встретить в Москве – в музее музыкальной культуры имени Глинки и даже в Оксфорде! [5]
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Так в перспективе нам хотелось бы встретиться с мастерами непосредственно занимающимися изготовлением деревянных музыкальных инструментов о которых шла речь в разделе 2.2 данной работы, чтобы понять более глубоко технику, технологию и особенности изготовления инструмента. Нам это интересно еще и потому, что появилось желание самим попробовать изготовить деревянный музыкальный инструмент, который смог бы передать слушателям настроение нашей души и нашего времени.
Данное исследование будет способствовать углублению и расширению знаний о свойствах и породах древесины, о народных музыкальных инструментах выполненных из дерева, о влиянии свойств и выборе породы древесины на качество звучания того или иного музыкального инструмента.
Исследование показало как много необходимо затратить времени, сил, материальных затрат, сколько необходимо иметь различных познаний, для того, чтоб изготовить из дерева даже простейший музыкальный инструмент. Зная все это мы будем более бережно относиться к музыкальным инструментам и в целом ко всему тому, что сделано руками человека.
Изучая различные источники, встречаясь с народными умельцами изготавливающими деревянные музыкальные инструменты, мы смогли выполнить поставленные в исследовании цели и задачи
4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
- Паньшина, И. Н. Декоративно – прикладное искусство. – Мн., «Нар. асвета», 1975. – 112 с. с ил.
- Порвенков, В. Г. Акустика и настройка музыкальных инструментов. - М., «Музыка», 1990. – 192 с. с ил.
- Рябцев, Ю. С. История русской культуры. Художественная жизнь и быт XVІ – XVІІ вв. – М.: Владос, 1997. – 210 с. с ил.
- Сафроненко, В. М. Вторая жизнь дерева. Мн., «Полымя», 1990. – 207 с. с ил.
- Сайт Телекомпании«СТВ» - "Столичное телевидение": http://www.ctv.by – Дата доступа: 05.09.2012.
- Уткин, П.Н. Народные художественные промыслы. - М.: Высшая школа, 1992. – 154 с. с ил.
- Хворостов, А.С. Декоративно – прикладное искусство в школе. – М.: Просвещение,1981. – 184 с. с ил.
